Hexagulation numbers: the magic numbers of equal spheres on triply periodic minimal surfaces

Tomonari Dotera, Hideaki Tanaka & Yusuke Takahashi

Struct. Chem. 28, 105-112 (2016).

doi: 10.1007/s11224-016-0833-7

Dedicated to Professor Alan Mackay on the occasion of his 90-th birthday


Regular structures of equal spheres on the triply periodic minimal surfaces known as primitive (P), gyroid (G) and diamond (D) surfaces are enumerated as obtained through Monte Carlo simulations of hard spheres undergoing the Alder transition. Remarkably, there exist magic numbers producing the regular structures, which are simply explained by means of hexagulation numbers defined as H = h2+k2 - hk, in analogy with the Caspar and Klug's triangulation numbers, T = h2 + k2 + hk for icosahedral viruses, where h and k are equal to nonnegative integers. Understanding the significance of symmetry of the surfaces, the total number of spheres per cubic unit cell N is represented by N = 8H, 16H, and 32H for P-, G- and D-surfaces, respectively. Accordingly, these arrangements are analyzed in terms of space groups, equivalent positions (Wyckoff positions), and polygonal-tiling representations. The key is that there is only a limited number of efficient physical design possible even on the triply periodic minimal surfaces.


アルダー転移する剛体球のモンテカルロシミュレーションによって、プリミティブ曲面、ジャイロイド曲面、ダイヤモンド曲面として知られる三重周期曲面上の等球の規則配置が明らかになりました。驚くべきことは、ここにも魔法数があって、 H = h2+k2 - hkで定義される6角形数によって規則配置が説明されます。ここで、hkは非負整数ですが、かつてカスパーとクルーグが20面体ウィルスのために定義した3角形数T = h2 + k2 + hkにとても似ています。曲面の対称性を考えると、立方単位胞当りの球の総数NはP-、G-、D-曲面にそれぞれN = 8H, 16H, 32Hで与えられます。球の配置は空間群で分類され、ワイコフ位置、多面体表現が示されます。 鍵となっている考えは、球だけでなく、三重周期曲面上でも効率的な物理的デザインは限られるということです。